Pour étudier l’évolution des populations, il est important de prédire leur effectif futur mais aussi la manière dont vont évoluer les ressources qui leur sont nécessaires. Pour prédire l’évolution d’un système quelconque, les scientifiques utilisent des modèles mathématiques. On s’attache ici à déterminer le modèle mathématique qui décrit le mieux l’évolution de la population humaine. La population humaine évoluant de façon non continue, mais par paliers successifs (pas de nombres décimaux), on dit que c’est une grandeur discrète. On note u la grandeur qui modélise l’effectif de la population humaine. La grandeur étant discrète donc non continue, elle ne peut être décrite par une fonction. Pour la décrire, on utilise les suites, qui donnent une valeur u(n+1) en fonction de celle qui précède u(n), avec n le nombre d’années à partir d’une année de référence.

I. Le modèle linéaire et les suites arithmétiques

Un modèle mathématique simple d’un modèle démographique est le modèle linéaire qui utilise les suites arithmétiques.

Soit une grandeur discrète u (ici, l’effectif de la population) qui varie de manière linéaire en fonction d’un palier entier n (par exemple l’année, la décennie,…). Dans ce cas, sa variation absolue u(n+1)-u(n) est constante : elle correspond à la « hauteur » d’un « palier ». On peut donc noter, pour tout u_n+1 :

u_n+1 –  u_n = r

où r est la constante, appelée raison de la suite, et n un nombre entier (pas de chiffre décimal après la virgule) naturel (uniquement supérieur à 0)

Pour calculer la valeur de u_n+1 en fonction de u_n, on ajoute donc une constante : c’est la définition d’une suite arithmétique. On note alors :

u_n+1 =  u_n + r

Le terme général de cette suite arithmétique, permettant de calculer u_n en fonction d’un autre terme u_p est :

u_n = u_p +(n-p) r

En effet, u_n = u_n-1 + r ; or, comme u_n-1 = u_n-2 + r, alors u_n = (u_n-2 + r) + r =  u_n-2 + 2r = u_n-3 + 3r = … = u_p + (n-p)r

De là, on peut calculer u_n en fonction du premier terme de la suite u₀ : u_n = u₀ + n r

Graphiquement, on reconnaît un modèle linéaire par le fait que les points sont alignés le long d’une droite. Dans la réalité, pour une population dont la variation absolue est presque constante d’un palier à l’autre, on peut ajuster le nuage de points qui la représente par une droite (modèle linéaire).

II. Le modèle exponentiel et les suites géométriques

Le modèle linéaire est inadapté pour représenter l’évolution d’une grandeur dont la variation absolue change fortement d’un palier à l’autre. Il existe alors d’autres modèles, comme le modèle exponentiel.

Soit une grandeur discrète u (ici, l’effectif de la population) qui varie de manière exponentielle en fonction d’un palier entier n (par exemple l’année, la décennie,…).  Dans ce cas, sa variation absolue u(n+1) – u(n) est proportionnelle à sa valeur courante u(n), soit :

u_n+1 –  u_n = (q-1) u_n

où q est la constante, appelée raison de la suite, et n un nombre entier naturel

Dans ce cas, sa variation relative(ou taux de variation)(u _n+1 – u_n)/u_nest constante. On calcule donc la valeur de u_n+1 en fonction de u_n en lemultipliant par un nombre constant : c’est la définition d’une suite géométrique. On note alors :

u_n+1 =  q u_n

Le terme général de cette suite géométrique, permettant de calculer u_n en fonction d’un autre terme u_p est :

u_n =q^n-p u_p

En effet, u_n = q u_n-1 ; or, comme u_n-1 = q u_n-2 , alors u_n = (q u_n-2) q =  q ² u_n-2 = q³ u_n-3 = … = q^n-p u_p

De là, on peut calculer u_n en fonction du premier terme de la suite u₀ : u_n = qⁿu₀

Dans la réalité, pour une population dont le taux de variation est presque constant d’un palier à l’autre, on peut ajuster le nuage de points par un modèle exponentiel. Lorsque q est supérieur à 1, la suite traduit une croissance exponentielle. Lorsque q est positif et inférieur à 1, la suite traduit une décroissance exponentielle.

III. Le modèle de Malthus et son évolution

Le modèle démographique de Malthus est un modèle exponentiel d’évolution de l’effectif de la population. Il prévoit que l’effectif de la population décroît vers 0 si le taux de mortalité (nombre de décès /an)est supérieur au taux de natalité (nombre de naissances/an) et croît vers l’infini si le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité.

Si les prédictions du modèle de Malthus peuvent se révéler correctes sur un temps court, elles sont irréalistes sur un temps long, notamment en raison de l’insuffisance des ressources disponibles, du développement de la contraception, de l’allongement des études qui repousse l’arrivée du premier enfant,…

Des modèles plus élaborés prévoient que la population mondiale atteindra environ 10 milliards d’humains en 2050.